Obie podane przez Pana formy są poprawne. W języku polskim czas przyszły złożony (bo taki właśnie jest przedmiotem Pana pytania – w odróżnieniu od czasu przyszłego prostego) realizowany jest na dwa sposoby:

przez połączenie czasownika posiłkowego być w formie czasu przyszłego (będę, będziesz, będzie itd.) z bezokolicznikiem
lub
przez połączenie czasownika posiłkowego być w formie czasu przyszłego (będę, będziesz, będzie itd.) z dawnym imiesłowem (tzw. imiesłowem na -ł), który równy jest formie czasownika w 3 os. czasu przeszłego (w tym wypadku pisał).

Starsze w języku są konstrukcje z bezokolicznikiem – pochodzą one jeszcze z prasłowiańszczyzny. Formy z wykorzystaniem imiesłowu (charakterystyczne wyłącznie dla polszczyzny) natomiast zaczynają się rozpowszechniać w XVI wieku.
Konstrukcja z imiesłowem na -ł niesie ze sobą dodatkową informację o rodzaju – jest więc bardziej wyrazista i bogatsza semantycznie. Co ciekawe, we współczesnej polszczyźnie kobiety, używając formy 1 os. liczby pojedynczej, częściej „ukrywają się” za bezokolicznikiem, podczas gdy mężczyźni ujawniają informacje o płci w konstrukcjach z imiesłowem. Językoznawcy upatrują przyczyn takiego stanu rzeczy między innymi w tym, że forma rodzaju żeńskiego jest o jedną sylabę dłuższa od konstrukcji z bezokolicznikiem, a więc mniej ekonomiczna.