Pytanie ma długą historię, o nadużywaniu przyimka na kosztem w pisano krótko po II wojnie, wiążąc to zjawisko ze zmianami społecznymi w Polsce. Nawet jeśli na zawdzięcza swoją karierę awansowi społecznemu mniej kompetentnych językowo użytkowników polszczyzny, to i tak później zostało w pewien sposób zracjonalizowane przez postawienie w opozycji do przyimka w. Na przykład konstrukcja w rynku podkreśla zamknięty charakter tej części miasta (rynek jest jak pudełko, jego pierzeje to ściany pudełka), podczas gdy konstrukcja na rynku podkreśla – przeciwnie – otwarty charakter tego miejsca (synonimem może tu być na placu). Mieszkamy w mieście (takim czy innym), ale spotykamy się na mieście, czyli poza domem. Obiad można zjeść w stołówce i na stołówce, ale w tym drugim wypadku stołówka wydaje się większa. W dyskotece znaczy 'w pomieszczeniu', a na dyskotece znaczy 'na zabawie'. Nie wiem tylko, co miałoby znaczyć na dzielnicy w przeciwieństwie do w dzielnicy i to jest jedyny z Pani przykładów, dla którego nie umiem znaleźć uzasadnienia (ale może nie dość pilnie szukałem).
Ekspedientki w sklepie mówią, że pracują na kasie. Odbieram ten zwrot jako środowiskowy i gdybym miał użyć go w oficjalnym tekście, tobym go zamienił na przy kasie (mając na myśli urządzenie), raczej chyba nie w kasie (choć i to ma sens, jeśli się ma na myśli ten kawałek przestrzeni, który obejmuje też krzesło, ladę, jakieś drzwiczki, ekspozytor, na którym umieszcza się papierosy, słodycze itp.).