Sądzę, że aby jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie: żłobek czy żłóbek?, należy odwołać się do historii języka. Umotywowaną historycznie jest oboczność żłób – żłobek, por. analogiczne miód – miodek, chłód – chłodek, przód – przodek, stół – stołek, wór – worek, rów – rowek.
Ale jak poświadczają dawne słowniki języka polskiego, już od XVIII w. pojawia się oboczna forma żłóbek (por. np. „Sól srebrem roztopiona wlewa się do formy w żłóbki […] wyrzniętej”, Józef Krumłowski, XVIII w., Linde), która znajdowała oparcie w takich parach wyrazowych, jak ogród – ogródek, chór – chórek, kościół – kościółek. Ten stan utrzymuje się przez cały wiek XIX, por. np. u J. Słowackiego: „O matko Polsko, […] W żłobku serc naszych biednych położona” (Beniowski, pieśń V) oraz W. Pola: „żywot Chrystusa od żłóbka do męki […]/ Odczytasz wszystek jakby z żywej karty” (Poemat. Jest tam w Krakowie). Natomiast w XX w., choć obie formy żłobek – żłóbek nadal się utrzymują, to jednak zaznacza się ich zróżnicowanie: forma żłóbek jest traktowana jako odmiana regionalna ogólnopolskiego żłobek (SW, DorSJP), podobnie jak dzióbek wobec ogólnopolskiego dziobek.
W słownikach nowszych (m.in. Szymczaka, Bańki, ortograficznym słowniku Polańskiego) widoczne jest zróżnicowanie znaczeniowe: żłóbek to ‘mały żłób, czyli koryto, w które nakłada się paszę dla koni, bydła’, a więc i żłóbek bożonarodzeniowy, natomiast żłobek występuje w pozostałych znaczeniach, w tym zwłaszcza ‘zakład opiekuńczo-wychowawczy dla małych dzieci’.
Wyraz żłóbek – jak to wynika z Korpusu Języka Polskiego PWN – jest nadal używany. Tym bardziej więc nie należy poprawiać kolęd. A zatem: żłóbek!