Choć czasownik zapisać się łączy się w polszczyźnie z przyimkiem na (np. zapisać się na uniwersytet, na angielski, na siłownię, na listę) oraz do (np. zapisać się do lekarza, do dentysty, do szkoły, do klubu), a obie przywołane w pytaniu frazy mają w polskim internecie olbrzymią frekwencję (zapisz się na newsletter ok. 15 400 000 wystąpień; zapisz się do newslettera ok. 24 300 000 wystąpień), to najbardziej poprawne będą następujące sformułowania:

• zamów newsletter
• zaprenumeruj newsletter
• zapisz się na listę odbiorców newslettera