Możliwe i poprawne są obie konstrukcje – kłaść / położyć coś (biernik) na coś (biernik) / na czymś (miejscownik). Inny słownik języka polskiego PWN pod red. M. Bańki (Warszawa, 2000, t. I, s. 631, t. II, s. 167) rejestruje następujące użycia:

Ręczniki kładę na najwyższej półce (na + Msc.),
Kładź plecak na ziemię (na + B.),
…powiedział, kładąc palec na ustach (na + Msc.),
Usiadł obok niej i położył jej rękę na ramieniu (na + Msc.),
Nóż położyła na stole obok siebie (na + Msc.),
Pies położył pysk na jego bucie i zasnął (na + Msc.).

Jeszcze garść przykładów z Narodowego Korpusu Języka Polskiego (www.nkjp.pl):
Widziałam jak go zdejmowali z tego okna i położyli na podłogę… (na + B.),
Położyła dłoń na piersi (na + B.),
…położył gitarę na krześle obok… (na + Msc.).

Pobieżna analiza cytatów z NKJP wskazuje, że o wiele częstsze są połączenia miejscownikowe.

Gdzieniegdzie można wyczytać lub usłyszeć, że kłaść / położyć – jako czasowniki związane z ruchem – wymagają wyrażenia z biernikiem (Kładę książkę na stół), a konstrukcja z miejscownikiem zarezerwowana jest wyłącznie dla verbów wskazujących na przebywanie w jakimś miejscu (Książka leży na stole). Tylko druga część – ta dotycząca leżeć, być itd. – tej reguły jest jednak właściwa.