Każdy z przytoczonych wyżej wyrazów przyszedł do polszczyzny nieco inną drogą, różne są też współcześnie zakresy ich występowania (z pewnością na przykład na Podlasiu używa się wciąż słowa duha). Zajmijmy się więc tylko czu(c)hą.
Wydaje mi się, że słowniki podają aż za wiele rozstrzygnięć w sprawie nazwy 'góralskiego wierzchniego okrycia z rękawami, szytego z sukna, zarzucanego na ramiona i zapinanego na kołki (zamiast guzików) umocowane na rzemiennych paskach, zwanego też gunią'.
Wariantywność pisowni z cz i c wynika z tego, że Podhalanie większość cz wymawiają jako c (zjawisko zwane mazurzeniem), a język ogólny znał to słowo również od nie mazurzących Łemków i z innych źródeł.
Pisowniana oboczność ch i h jest bardziej skomplikowana. Etymologia jednoznacznie przemawia za pisownią przez h. W języku ukraińskim słowo to funkcjonuje jako regionalne (galicyjskie, łemkowskie): czuha, słowacki słownik gwarowy również wybiera pisownię čuha, wreszcie w języku tureckim, z którego najprawdopodobniej to słowo do nas przyszło, pisze się çuha 'sukno'.
Wreszcie problem z pisownią i wymową celownika i miejscownika liczby pojedynczej omawianego wyrazu. Wielki słownik ortograficzny języka polskiego PWN podaje: cucha cusze, czucha czusze. Aż trzy warianty pisowni hasła podaje Praktyczny słownik współczesnej polszczyzny pod red. Haliny Zgółkowej (t. 7, Poznań 1996, s. 291): cucha || czucha || czuha, a celownik i miejscownik: cusze, czusze – i to tutaj właśnie brakuje nam pewnej symetrii i spodziewanej wymiany h: ż, jak w Sapieha: Sapieże (od niedawna wolno również pisać Sapiesze).
Omawiamy słowo góralskie, więc powinniśmy wziąć pod uwagę gwarę podhalańską i sąsiednie. Tam jednak sytuacja jest bardzo złożona. Mianowicie spór o istotę podhalańskiej wymowy h i ch trwa już od stu lat i nie został do dziś rozstrzygnięty. Przypomnijmy: w gwarze podhalańskiej ch „ma wybitnie przydechowy charakter, brzmi słabiej, a w wielu pozycjach wyrazowych wykazuje tendencję do zaniku […]: ^hłopc-i z 'O^hołowa (= chłopcy z Chochołowa – A.C.). […] Wyróżnia go [ten dźwięk – A.C.] jeszcze jedna właściwość, mianowicie dźwięczna (!) wymowa przed samogłoskami i spółgłoskami sonornymi” (J. Kąś, K. Sikora, Ortografia podhalańska – problemy podstawowe i propozycje rozwiązań, [w:] Edukacja regionalna na Podtatrzu. Ścieżki i manowce, pod red. A. Mlekodaj, Nowy Targ 2004, s. 47). K. Przerwa-Tetmajer w Na Skalnym Podhalu pisał np.: „Sjon hłop cuhe” (= zdjął chłop cuhę). Można więc na Podhalu usłyszeć dźwięczne h także w miejscu etymologicznego ch bezdźwięcznego, czyli inaczej niż np. w wymowie Polaków zamieszkujących pogranicze językowe polsko-wschodniosłowiańskie. Oddziaływanie języka ogólnego i wewnętrzne przemiany gwar powodują jednak, że zarówno na Podhalu, jak i na sąsiedniej Orawie spotyka się wymowę cucha, z bezdźwięcznym ch, czego dowodem jest specyficzny miejscownik: cuchie obok „spodziewanego” i uzasadnionego etymologicznie cuze (ż jest tu oczywiście „zmazurzone”).
Zdrobnienie utworzone sufiksem -k(a) nie pomaga nam rozwikłać problemu, bo zarówno domniemane *cużka (hasło cuzka jest w Słowniku gwary orawskiej Józefa Kąsia z 2003 r.), jak i cuszka (notowane w Słowniku gwar polskich PAN (t. 4, z. 12, Kraków 1993, s. 556) wymawiane są jako [cuska].
Za to zdrobnienie utworzone przez -ecz-k(a) rzeczywiście może nas poinstruować. Górale mówią i śpiewają cuzecka (co w ortografii ogólnopolskiej zapisalibyśmy przez ż, ale spotkałem też zapis cusecka, który świadczy o istnieniu ww. wymowy przez bezdźwięczne ch), np. w dość popularnej na Podhalu kolędzie, śpiewanej w takiej oto wersji przez zespół Trebunie Tutki (por. http://www.trebunie.pl/teksty_08.htm):

Dobrze, ześ sie, Jezu, pod Giewontem zrodził
Bedzies w biołyk portkak i w cuzecce chodził
I mioł na mój dusik z piórkiem kapelusik
Hej kolęda, kolęda !

Uważam zatem, że w słownikach powinna się pojawić pisownia z cuha i czuha, a w celowniku i miejscowniku: cuże, czuże i – ewentualnie, na wzór Sapiehy – cusze czusze.
Wesołych Świąt!