1) Podstawowa forma to metoda Pilatesa (od nazwiska twórcy tej metody gimnastycznej). Istnieje też wyraz potoczny pilates oznaczający ćwiczenia tego rodzaju. W Internecie znalazłem przechwałkę o treści Prawdopodobnie najlepsza strona o pilatesie w Polsce, w której tego wyrazu użyto, jak należy.
2) Wyrażenie puchar świata piszemy zasadniczo małymi literami, bo jest ono pospolite. Wielkich użyjemy tylko w pełnej nazwie jakiejś imprezy, np. Puchar Świata w Skokach Narciarskich, Drużynowy Puchar Świata na Żużlu. Od takich wielowyrazowych nazw często tworzymy skrót Puchar Świata, a wtedy możemy stosować zapis wielkimi literami.
Z reguły jednak, jeśli istnieje nazwa własna pochodząca od wyrażenia pospolitego, możemy pisać dwojako, zależnie od znaczenia. O tym problemie była już wielokrotnie mowa, proszę przeszukać listę odpowiedzi.