Zastosowanie ma tu reguła [82] Wielkiego słownika ortograficznego PWN, zgodnie z którą za podstawową należałoby uznać pisownię pierwszego wyrazu od małej litery. Nazwy wymienione w pytaniu są jednak w dość częstym użyciu, a ich pierwsze składniki traktowane jako części wielowyrazowych nazw. Sprzyja to pisowni Sala Książęca, Schody Królewskie, Pałac Apostolski, którą utwierdza zwyczaj językowy, a ponadto wpływ języka włoskiego, w którym te nazwy zapisuje się wielkimi literami. Taki zapis polecam.
Pisownia Kaplica Sykstyńska, jest od dawna ustalona i wymieniana przez słowniki, zaś bazylika watykańska pisałbym małymi literami, bo właściwa nazwa to Bazylika św. Piotra w Rzymie).