Wszelkie nazwy geograficzne, również obce, powinny być odmieniane, jeśli tylko jesteśmy w stanie ustalić dla nich wzór odmiany. Ujmując rzecz inaczej: nazwy o formie spolszczonej (np. Paryż, Teksas, Amazonka), odmieniane być muszą, niespolszczone zaś mogą.
Dobór wzorca odmiany dokonuje się przede wszystkim na podstawie dwóch kryteriów: rodzaju gramatycznego nazwy i jej zakończenia. O ile w przypadku wyrazów pospolitych na ogół nie ma problemu z ich ustaleniem, o tyle obce nazwy własne często sprawiają kłopot (choć rodzime nazwy własne też bywają trudne w użyciu). Problem dotyczy głównie rodzaju gramatycznego, ponieważ w odniesieniu do obcych nazw geograficznych najczęściej ustalamy go na podstawie zakończenia nazwy, np. Edmonton, Mannheim mają zakończenie takie, jak nasze rzeczowniki rodzaju męskiego (tron, dym), możemy więc przypisać im rodzaj męski, a wtedy powinniśmy je odmieniać (do Edmontonu, Mannheimu). Często jednak nazwy obce zakkończone spółgłoską i nieprzyswojone mają rodzaj nijaki (to Edmonton, Mannheim), a wtedy muszą pozostawać nieodmieniane, bo nie da się ustalić wzorca odmiany, skoro nasze rzeczowniki nijakie nie mają takiego zakończenia. Rodzaj gramatyczny możemy też ustalić na podstawie domyślnego kontekstu, powiemy np. piękna Milos, bo jest to wyspa (choć na podstawie zakończenia można by uznać, że wyraz ten powinien być rodzaju męskiego).
Staram się jak najprościej objaśnić ten problem, wiem jednak, że muszą powstać kolejne wątpliwości. W związku z tym odsyłam do Słownika nazw własnych i Słownika nazw geograficznych oraz archiwum naszej poradni po więcej informacji.
A co do istoty pytania: obie formy – w Singenie i w Singen – zasługują na akceptację, przy czym pierwsza jest rodzaju męskiego, druga nijakiego. Możemy używać obu, ale proszę pamiętać, że w konkretnym tekście powinna występować tylko jedna.
Uwzględniwszy różne argumenty, muszę stwierdzić, że rozsądniej będzie użyć formy nieodmiennej, a więc w Singen.