Ad 1. Wprawdzie mówimy wykładać na uniwersytecie, ale mówimy też pracować w instytucie (naukowym), a katedry w świecie naukowym są organizacyjnie bliższe instytutom niż uczelniom. Powiedziałbym uszczypliwie, że na katedrze lepiej nie wykładać, bo można spaść (katedra to także pulpit wykładowcy). Dużo bezpieczniej wykładać w katedrze.
Ad 2. Wszystko jedno. Można też powiedzieć w pierwsze piątki miesiąca, trochę krócej.