analogicznie każde pięć z dziewięciu punktów leżących na płaszczyźnie będzie tworzyć pięciokąt wypukły. Następnie dowiedli, iż zawsze istnieje taka liczba n, że jeżeli n punktów położonych jest na płaszczyźnie tak, by żadne trzy punkty nie znajdowały się na linii prostej, to jest możliwe wybranie k punktów, które utworzą wielokąt wypukły o k bokach. W ten sposób Erdös i Szekeres odkryli ponownie, nic o tym wówczas nie wiedząc, twierdzenie Ramseya w wersji geometrycznej. Wysunęli jednocześnie przypuszczenie, że aby zbudować wielokąt wypukły o k bokach, wystarczy dokładnie n = 1+2k-2 punktów, czego ani im, ani nikomu innemu nie udało się po dziś dzień