tzn. n może przebiegać nie tylko liczby naturalne, ale przeliczalne liczby porządkowe rekurencyjne. Otrzymujemy w ten sposób hierarchię hiperarytmetyczną. Rodzinę zbiorów hiperarytmetycznych oznaczamy symbolem. <br>Hierarchię analityczną definiuje się w sposób podobny jak arytmetyczną, ale teraz dopuszczamy kwantyfikowanie nie tylko liczb naturalnych, ale także zbiorów liczb naturalnych.<br>Kodując odpowiednio funkcje można klasyfikować za pomocą opisanych hierarchii nie tylko zbiory liczb naturalnych, ale również funkcje naturalne, tzn. funkcje o argumentach i wartościach w zbiorze liczb naturalnych. <br>Niech teraz K będzie dowolną ustaloną klasą funkcji naturalnych. Definiujemy klasę K liczb rzeczywistych a takich, że dla każdego n spełniona jest nierówność<br>&lt;gap&gt;<br>gdzie f jest ustaloną