osiągnęli pewne sukcesy w realizacji opisanego wyżej programu. W szczególności W. Ackermann wykazał (w roku 1924) za pomocą metod <orig>finitystycznych</> niesprzeczność pewnego fragmentu arytmetyki liczb naturalnych. Wkrótce jednak wydarzyć się miało coś, co wstrząsnęło programem Hilberta (i w jakimś sensie całymi podstawami matematyki). Otóż w 1930 r. młody matematyk wiedeński Kurt Gödel (1906­1978) udowodnił twierdzenie głoszące, że każdy system sformalizowany zawierający arytmetykę liczb naturalnych i niesprzeczny musi być niezupełny, tzn. zawsze istnieć będą wyrażone w języku tego systemu zdania, których na gruncie tego systemu nie można ani dowieść, ani obalić (zdania takie nazywamy nierozstrzygalnymi). Gödel podał konkretny przykład takiego zdania