ustalić reguły budowania w tym języku poprawnych wyrażeń złożonych. Następnie należało wprowadzić aksjomaty i reguły wnioskowania (odwołujące się tylko do kształtu formuł, a nie do ich znaczenia czy sensu). W ten sposób twierdzeniami matematyki stają się te formuły języka naszego systemu sformalizowanego, dla których istnieje dowód formalny oparty na przyjętych aksjomatach i regułach wnioskowania. Przy czym aksjomaty i reguły powinny być tak dobrane, by pozwalały na rozstrzygnięcie każdego problemu, który można sformułować w rozważanym języku jako zdanie realne, a zatem, jak mówi się dziś w logice, powinny tworzyć zupełny układ aksjomatów.<br>Drugi etap programu Hilberta polegał na wykazaniu niesprzeczności i zachowawczości