udowodnił twierdzenie głoszące, że każdy system sformalizowany zawierający arytmetykę liczb naturalnych i niesprzeczny musi być niezupełny, tzn. zawsze istnieć będą wyrażone w języku tego systemu zdania, których na gruncie tego systemu nie można ani dowieść, ani obalić (zdania takie nazywamy nierozstrzygalnymi). Gödel podał konkretny przykład takiego zdania. Wynik Gödla, zwany dziś I twierdzeniem Gödla o niezupełności, został opublikowany w pracy <gap>. I. Na końcu tej pracy Gödel zaanonsował też inne twierdzenie, zwane dziś II twierdzeniem Gödla, a głoszące, że dowód niesprzeczności teorii sformalizowanej zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie może być przeprowadzony w metamatematyce nie operującej środkami wykraczającymi poza te, które mieszczą się