to samo stosuje się do wszystkich teorii matematycznych bogatszych od arytmetyki.<br> Dodawaniem i mnożeniem liczb ludzie posługują się od wieków i dotychczas nikt nigdy na żadną sprzeczność w arytmetyce nie natrafił. Ale co innego na sprzeczność nie natrafić, a co innego udowodnić, że takiej sprzeczności nie ma. Otóż dotychczas dowodu niesprzeczności arytmetyki nikomu nie udało się przeprowadzić. Twierdzenie Gödla głosi, że można zbudować niesprzeczny układ aksjomatow dla arytmetyki, ale wówczas zawsze znajdą się takie twierdzenia arytmetyczne, których nie da się z tych aksjomatów wyprowadzić, czyli układ aksjomatów będzie niezupełny. Jeżeli przyjmiemy więcej założeń, tak żeby układ stał się zupełny, to wówczas