niesprzeczność pewnego fragmentu arytmetyki liczb naturalnych. Wkrótce jednak wydarzyć się miało coś, co wstrząsnęło programem Hilberta (i w jakimś sensie całymi podstawami matematyki). Otóż w 1930 r. młody matematyk wiedeński Kurt Gödel (1906­1978) udowodnił twierdzenie głoszące, że każdy system sformalizowany zawierający arytmetykę liczb naturalnych i niesprzeczny musi być niezupełny, tzn. zawsze istnieć będą wyrażone w języku tego systemu zdania, których na gruncie tego systemu nie można ani dowieść, ani obalić (zdania takie nazywamy nierozstrzygalnymi). Gödel podał konkretny przykład takiego zdania. Wynik Gödla, zwany dziś I twierdzeniem Gödla o niezupełności, został opublikowany w pracy <gap>. I. Na końcu tej pracy Gödel zaanonsował