Nie, podobieństwo tych wyrazów jest przypadkowe. Jak podaje W. Boryś w Słowniku etymologicznym języka polskiego (Wydawnictwo Literackie, Kraków, 2005, s. 131), drzewo ma u swych źródeł praindoeuropejski *der-eu̯̦- / *der-u- / *dr- eu̯̦- (‘drzewo’), natomiast rzeczownik drzwi wywodzi się z praindoeuropejskiego *dhu̯̦ŗ- / *dhu̯̦er- / *dhu̯̦or- (‘drzwi’). Jak widać, ostatnia z tych form jest bliska brzmieniowo współczesnej nazwie drzwi w języku angielskim (door), co nie dziwi, gdyż angielski, podobnie jak polski, należy do rodziny praindoeuropejskiej (która z czasem rozpadła się na kilka dalszych rodzin języków, m.in. słowiańską i germańską). W polszczyźnie przywołane praindoeuropejskie elementy dały początkowo formę *dwrzi, która przekształciła się w drzwi.