Często powtarzanym zaleceniem jest, by w razie problemów z odmianą nazw własnych, stosować się do lokalnego zwyczaju. Nie pierwszy to jednak przypadek, gdy i to nic nie pomaga.
Szkoda, że nie wiemy, jakie formy tej nazwy są w użyciu, bo mogłoby to ułatwić rozwiązanie problemu. Domyślam się jednak, że kłopot sprawia drugi człon nazwy – Bystry. Może on być rozumiany jako przymiotnik (Bystry, Bystrego) lub rzeczownik. Z kontekstu wynika, że Bystry to właśnie rzeczownik, występujący wyłącznie w formie liczby mnogiej. (Warto dodać, że w pobliżu są miejscowości o równie uroczych nazwach: Kalinówka Basie i Kalinówka Wielobory). W związku z tym w dopełniaczu powinniśmy użyć form Bystr a. Bystrów, a dalej jest już prosto: C. Bystrom, B. Bystry, N. Bystrami, Ms. Bystrach.
Tak by było najlepiej, ale jeśli miejscowi mówią inaczej i nie mają wątpliwości co do stosowanej odmiany, nie poprawiałbym ich.