Cząstka mini ma zasadniczo pisownię łączną, np. minispódniczka. Jeśli mini poprzedza nazwę własną, powinno być od niej oddzielone łącznikiem, np. mini-Europa. Domyślam się jednak, że logia nie jest dla Państwa nazwą własną, lecz status nazwy własnej ma dopiero cała konstrukcja, nad której pisownią się zastanawiacie. W takim razie proponowałbym pisać Minilogia albo MiniLogia (duża litera w środku nazw własnych jest legalna, zgodzili się już na to ortografowie).
Tyle o pisowni. Sama nazwa wydaje mi się niezbyt fortunna, gdyż logia pochodzi od greckiego logos 'rozum'. Ktoś złośliwy mógłby więc powiedzieć, że MiniLogia to konkurs dla ludzi o minimalnym rozumie. Może konkurs dla informatyków powinien nazywać się raczej GigaLogia?