Rzeczywiście, nazwa pielgrzymka jest „zarezerwowana” do wydarzenia, a nie do uczestniczki tego wydarzenia, choć ze słowotwórczego punktu widzenia nic nie stoi na przeszkodzie, by była ona formą żeńską rzeczownika pielgrzym.
Zdanie pielgrzymi szły jest błędne, ponieważ pielgrzym jest rzeczownikiem męskoosobowym, a szły to forma niemęskoosobowa.