Zasadniczo może być i tak, i tak: w pierwszym wypadku mamy do czynienia z nazwą własną, w drugim z tzw. deskrypcją określoną (jak by powiedzieli logicy) albo wyrażeniem omowynym, inaczej: peryfrastycznym (jak by mogli powiedzieć językoznawcy). Jak miało być naprawdę, nie wiem; odpowiedzi trzeba by szukać chyba w materiałach archiwalnych. Jeśli nie ma Pani na to czasu, to radzę wybrać jako bezpieczniejszy zapis małą literą, tzn. dzielnica Marszałka Piłsudskiego.