Temat ten był już poruszany w naszej poradni, choć odpowiedzi niełatwo znaleźć (sam przed chwilą próbowałem z niejakim trudem). Mówiąc w skrócie, dodawanie w myślach słowa dzień w odpowiednim przypadku jest dobrym pomysłem na odczytywanie dat, gdyż pozwala ustrzec się błędu. W zdaniach, w których liczebnik porządkowy określający dzień występuje w bierniku (jak w Pana przykładzie), słowo dzień można jednak dostawić dwojako: z (dnia) piętnastego na szesnasty (dzień) lipca albo z (dnia) piętnastego na (dzień) szesnastego lipca. Konstrukcje typu na (kogo? co?) szesnastego lipca nie są błędne, są nawet częstsze od – równie poprawnych – konstrukcji typu na szesnasty lipca. Więcej o tym – zob. Mały słownik wyrazów kłopotliwych, hasło styczeń, luty itd.
Reasumując, obie konstrukcje, które zamieścił Pan w pytaniu, są poprawne.