Wyrażenie Partnerstwo Eurośródziemnomorskie oznacza ‘platformę współpracy państw członkowskich Unii Europejskiej oraz 10 pozaeuropejskich państw Basenu Morza Śródziemnego‘ (definicja za Wikipedią). Wnioskować stąd można, że jest to nazwa własna, potwierdzają to zresztą niektóre użycia tego wyrażenia. Tu jednak uwaga: wielka litera będzie potrzebna, gdy użyjemy go w znaczeniu podanym wyżej; jeśli będziemy mieć na myśli bliżej nie skonkretyzowane partnerstwo krajów Europy i Morza Śródziemnego, wielkiej litery nie musimy używać.
Z kolei drugie z podanych wyrażeń należy pisać małymi literami. Trudno znaleźć przekonującą motywację dla zapisu przedstawionego w pytaniu, proszę więc pisać plany działania. Rozumiem, że wielka litera w zapisie tego wyrażenia bierze się z potrzeby jego wyeksponowania. Jeśli to rzeczywiście tak istotne, można się posłużyć jakimś sposobem typograficznym, może to być np. kursywa, pogrubienie.