Najprościej by było w takiej sytuacji zajrzeć do słownika ortograficznego, np. do Wielkiego słownika ortograficznego PWN (red. E. Polański, Warszawa 2010). Na s. 676 podaje się tam hasło po czym, a w części opisowej – w regule [143], s. 68–69 – wyjaśnia, że chodzi o wyrażenie przyimkowe składające się z przyimka po i formy narzędnikowej zaimka co. W przeszłości jednak, gdy norma ortograficzna nie była jeszcze instytucjonalnie skodyfikowana, tu i ówdzie spotykało się pisownię łączną poczym, o czym przekonuje chociażby pobieżna kwerenda tekstów ukazujących się w prasie warszawskiej z końca XVIII w. i 1. poł. połowy XIX w., np. w „Gazecie Warszawskiej” (nr 73 z 11 września 1792 r.) i „Kurjerze Warszawskim” (nr 224 z 19 września 1821 r.; „poczym” site:ebuw.uw.edu.pl).
Przypuszczam, że w pytaniu chodziło o archaiczną formę słowa poczem, będącą tworem zleksykalizowanym o znaczeniu ‘następnie’ (takim samym jak wtem, przedtem, potem, zatem), którą przed wielką reformą ortografii w latach 1934–1935 zapisywano łącznie, traktując jako przysłówek. Dodajmy, że łączną pisownię miały wówczas również wyrazy przyczem, zaczem i pozatem.
Samogłoska i litera e występowała we wszystkich tych leksemach dlatego, że na przełomie XIX i XX w. rozróżniano końcówki narzędnika (i miejscownika) zaimków (i przymiotników) r. nijakiego (-em, np. swem narodzeniem, w swem narodzeniu; tem mówieniem, w tem mówieniu; mojem staraniem, w mojem staraniu) i końcówki narzędnika (i miejscownika) zaimków (i przymiotników) r. męskiego (-im, np. swym żywotem, w swym żywocie; tym zamętem, w tym zamęcie; moim pokojem, w moim pokoju).
Owo rozróżnienie obowiązywało dość długo (sankcjonowały je zarówno Uchwały Akademii Umiejętności z 1891 roku, jak i z 1918 roku). Podczas prac nad największą w historii reformą pisowni postanowiono jednak zmienić tę dość nieżyciową regułę (nie obeszło się bez protestów części lingwistów) i znieść rozróżnianie końcówek. Nakazano użytkowników polszczyzny pisać od teraz według jednego paradygmatu: w narzędniku –swym narodzeniem i swym żywotem; tym mówieniem i tym zamętem; moim staraniem i moim pokojem; w miejscowniku – w swym narodzeniu i w swym żywocie; w tym mówieniu i w tym zamęcie; w moim staraniu i w moim pokoju itp.
Powstał jednak problem, co zrobić ze scalonymi już leksykalnie wyrażeniami wtem, zatem, pozatem, przedtem, potem, poczem, przyczem, zaczem. W końcu opowiedziano się za utrzymaniem (na zasadzie wyjątków) pisowni czterech zrostów: przedtem (‘dawniej, wcześniej’), potem (‘później’), wtem (‘nagle’) występujących w funkcji przysłówków (ale już nie… pozatem ’oprócz tego’) i zatem (‘więc’) jako spójnika, zaznaczając, że luźne zestawienia, niebędące przysłówkami ani spójnikami, podlegają zasadzie ogólnej (np. przed tym zdarzeniem, po tym wypadku, w tym dziele, za tym nic się nie kryło).
Do grupy wyjątków nie włączono jednak wyrazów poczem, przyczem i zaczem, które od teraz (czyli od 1936 roku) musiały być zapisywane po nowemu – z końcówką -ym i rozdzielnie jako wyrażenia przyimkowe po czym, przy czym, za czym (także poza tym).