Przymiotniki prawny i prawniczy nie są synonimami absolutnymi i nie we wszystkich kontekstach można te wyrazy stosować wymiennie, por.

1. prawny: 1) ‘dotyczący prawa, stanowiący prawo, obowiązujący według prawa, określony prawem, zgodny z prawem’, np. akt prawny, instytucja prawna, luka prawna, pomoc prawna, porządek prawny, przepis prawny, skutek prawny; 2) ‘taki, który zajmuje się prawem jako dziedziną zawodową, stosowany w dziedzinie prawa’ (synonim: prawniczy), np. biuro prawne, kancelaria prawna, nauki prawne;
2. prawniczy: ‘dotyczący prawnika lub prawa’, np. kancelaria prawnicza, nauki prawnicze, studia prawnicze, terminologia prawnicza.

Oba przywołane w pytaniu wyrażenia – tzn. konkurs prawniczy i konkurs prawny – są poprawne i często są stosowane wymiennie, por. np.

• 22 października odbył się powiatowy konkurs prawny, w którym udział wzięli uczniowie naszej szkoły.
• Konkurs prawny odbędzie się w październiku w I Liceum Ogólnokształcącym w Brzozowie. Celem projektu jest pogłębienie wiedzy o prawie.
• Równolegle odbędzie się konkurs prawniczy, którego zwycięzca otrzyma indeks na wybrany kierunek studiów.
• Warsaw High School Moot Court to ogólnopolski konkurs prawniczy skierowany do licealistów zainteresowanych prawem.

Wyrażenia te mogą jednak – w zależności od kontekstu – znaczyć trochę co innego. Konkurs prawniczy może być konkursem przeznaczonym wyłącznie dla prawników (w odróżnieniu od np. konkursu inżynierskiego skierowanego do inżynierów). Z kolei uczestnikami konkursu prawnego nie muszą być prawnicy, lecz osoby zainteresowane prawem (w odróżnieniu od konkursu plastycznego czy konkursu literackiego, przeznaczonego dla miłośników sztuk pięknych bądź literatury).